اگر خطی مانند $d_۱$، خطوط $a$ و $b$ را مانند شکل با زاویه‌های مساوی قطع کرده باشد، خط‌های $a$ و $b$ با هم موازیند. به خط $d_۱$ خط مورب می‌گویند. موازی بودن خط‌های $a$ و $b$ را به صورت $a||b$ نمایش می‌دهند. هر خطی که دو خط موازی را قطع کند با آنها زاویه‌های مساوی می‌سازد.
۱- اگر $ \hat{A}_۱=۶۰^\circ $ باشد، زاویه‌های خواسته شده را پیدا کنید و راه حل خود را توضیح دهید.
با توجه به اینکه خطوط $a$ و $b$ موازی هستند ($a||b$) و $d_۱$ خط مورب است، از روابط بین زوایا استفاده می‌کنیم.
- **محاسبه $ \hat{A}_۳ $:**
زاویه $ \hat{A}_۳ $ و زاویه $ \hat{A}_۱ $ مکمل یکدیگر نیستند، بلکه متقابل به رأس هستند (با فرض اینکه شماره‌گذاری استاندارد باشد). اما با توجه به راهنمای نوشته شده در سوال ("چون مکمل زاویه A1 است")، به نظر می‌رسد منظور سوال محاسبه زاویه $ \hat{A}_۲ $ بوده است.
$ \hat{A}_۲ = ۱۸۰^\circ - \hat{A}_۱ = ۱۸۰^\circ - ۶۰^\circ = ۱۲۰^\circ $ (مکمل)
اگر منظور خود $ \hat{A}_۳ $ طبق شکل باشد، $ \hat{A}_۳ $ و $ \hat{A}_۱ $ متقابل به رأس هستند، پس $ \hat{A}_۳ = \hat{A}_۱ = ۶۰^\circ $.
- **محاسبه $ \hat{B}_۱ $:**
زاویه $ \hat{B}_۱ $ و زاویه $ \hat{A}_۱ $ متناظر هستند. چون $a||b$ زوایای متناظر با هم برابرند.
$ \hat{B}_۱ = \hat{A}_۱ = ۶۰^\circ $
- **محاسبه $ \hat{B}_۲ $:**
زاویه $ \hat{B}_۲ $ و زاویه $ \hat{B}_۱ $ مکمل یکدیگرند (روی یک خط راست قرار دارند).
$ \hat{B}_۲ = ۱۸۰^\circ - \hat{B}_۱ = ۱۸۰^\circ - ۶۰^\circ = ۱۲۰^\circ $
- **محاسبه $ \hat{B}_۳ $:**
زاویه $ \hat{B}_۳ $ و زاویه $ \hat{B}_۱ $ متقابل به رأس هستند.
$ \hat{B}_۳ = \hat{B}_۱ = ۶۰^\circ $
۲- خط $ d_۲ $ را بر a عمود کنید و ادامه دهید تا خط b را قطع کند. چرا $ d_۲ $ بر b هم عمود است؟
این یک خاصیت مهم در خطوط موازی است: **«اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.»**
**چرا؟**
۱. فرض می‌کنیم دو خط $a$ و $b$ موازی هستند ($a||b$).
۲. خط $d_۲$ را طوری رسم می‌کنیم که بر خط $a$ عمود باشد. این یعنی زاویه بین $d_۲$ و $a$ برابر $۹۰$ درجه است.
۳. خط $d_۲$ به عنوان یک خط مورب، دو خط موازی $a$ و $b$ را قطع می‌کند.
۴. طبق قوانین خطوط موازی و مورب، زوایای متناظر با هم برابر هستند.
۵. بنابراین، زاویه‌ای که $d_۲$ با خط $b$ می‌سازد، باید برابر با زاویه‌ای باشد که با خط $a$ ساخته است؛ یعنی $۹۰$ درجه.
۶. چون زاویه بین $d_۲$ و $b$ برابر $۹۰$ درجه است، پس $d_۲$ بر $b$ نیز عمود می‌باشد.
۳- خط $ d_۳ $ با خط b زاویۀ ۷۰ درجه ساخته است. خط $ d_۳ $ با خط a چه زاویه‌ای می‌سازد؟
از آنجایی که خطوط $a$ و $b$ موازی هستند، طبق ویژگی‌های خطوط موازی و مورب، خط $d_۳$ با خط $a$ نیز زاویه‌هایی برابر با **$۷۰$ درجه** (تند) و **$۱۱۰$ درجه** (باز) می‌سازد.
**توضیح:**
وقتی یک خط مورب ($d_۳$) دو خط موازی ($a$ و $b$) را قطع می‌کند، **زوایای متناظر** با هم برابر هستند. بنابراین، زاویه تندی که $d_۳$ با خط $b$ می‌سازد ($۷۰^\circ$)، دقیقاً با زاویه تند متناظرش در محل تقاطع با خط $a$ برابر است. زاویه باز مجاور آن نیز مکمل آن خواهد بود: $ ۱۸۰^\circ - ۷۰^\circ = ۱۱۰^\circ $.
۴- دو خط a و b با هم موازی‌اند و خط d مورب است؛ پس زاویه‌های $ \hat{A}_۱ $ و $ \hat{B}_۱ $ با هم مساوی‌اند. این مطلب را به صورت زیر نشان می‌دهیم:
($ a||b $ و d مورب) $ \implies \hat{A}_۱ = \hat{B}_۱ $
این عبارت یک قضیه اساسی در هندسه را بیان و نمادگذاری می‌کند.
**توضیح قضیه:**
قضیه بیان می‌کند که **«اگر یک خط مورب (transversal)، دو خط موازی را قطع کند، آنگاه زوایای متناظر (corresponding angles) با یکدیگر برابر هستند.»**
در شکل نشان داده شده، $ \hat{A}_۱ $ و $ \hat{B}_۱ $ دو زاویه متناظر هستند، زیرا هر دو در یک موقعیت مشابه نسبت به خط مورب و خطوط موازی قرار دارند (در اینجا، هر دو در بالای خط موازی و سمت راست خط مورب خود هستند).
**توضیح نمادگذاری:**
- **$ a||b $**: نماد ریاضی برای «خط a موازی با خط b است».
- **$ \implies $**: این نماد به معنی «نتیجه می‌دهد» یا «آنگاه» است.
بنابراین، عبارت $ (a||b \text{ و d مورب}) \implies \hat{A}_۱ = \hat{B}_۱ $ به صورت منطقی اینگونه خوانده می‌شود: «اگر خط a با خط b موازی باشد و خط d مورب آن دو باشد، آنگاه نتیجه می‌گیریم که اندازه زاویه $A_۱$ با اندازه زاویه $B_۱$ برابر است.»
فاطمه رحیمی
1403/08/11
خیلی خیلی خیلی خوبع